Universalidad, hiperciclicidad y caos en espacios de Fréchet

Résumé

El objetivo de esta tesis es el estudio de la hiperciclicidad y el caos en espacios de Fréchet, Concretamente se abordan las siguientes cuestiones: Estudio de la hiperciclicidad y el caos de operadores backward shift ponderados en espacios escalonados de Köthe. Se obtienen caracterizaciones haciendo uso de diagramas conmutativos y de un lema de Comparación que generaliza l Principio de Comparación de Hiperciclicidad de Shapiro. Se prueban también resultados sobre la hiperciclicidad y el caos de perturbaciones de la identidad por operadores backward shift. Estudio de la existencia de operadores caóticos en espacios de Fréchet separables de dimensión infinita. Se presenta un ejemplo de espacio de Banach separable de dimensión infinita que no admite ningún operador caótico. La demostración depende de resultados profundos en la teoría de espacios de Banach; se utilizan, por primera vez en este contexto,los espacios de Bahacj complejos hereditariamente indescomponibles recientemente obtenidos por Gowers y Maurey. Estudio de la incidencia de los productos tensoriales en la hiperciclicidad y el caos. Los resultados probados se pueden aplicar al estudio de la hiperciclicidad de operadores en espacios de funciones de varias variables. También se estudia la universalidad de operadores de composición en distintas álgebras de operadores y como consecuencia se dan condiciones de existencia de subespacios cerrados de vectores universales. Estudio de la hiperciclicidad y el caos de ciertos polinomios (uno homogéneo y otro no homogéneo) en espacios de Fréchet. Concretamente se caracteriza el caos de un polinomio $d$-homogéneo ($d/ge2$) y se dan condiciones suficientes de hiperciclicidad y caos de un polinomio no-homogéneo, en ambos casos definidos en espacios escalonados de Köthe.