Sobre la teoría de potencias complejas de operadores y aplicaciones

Résumé

El primer problema abordado en esta tesis ha sido el de extender la teoría de potencias imaginarias al caso de operadores con dominio y/o rango no densos y definidos en espacios localmente convexos y sucesionalmente completos, Este problema ha sido resuelto en el Capítulo 2, donde se ha introducido un nuevo concepto de potencia imaginaria a partir del cual se ha construido una teoría de potencias complejas que incluye, entre otros, resultados de aditividad, multiplicatividad, analiticidad respecto del exponente, y conmutatividad de las potencias con las operaciones de tomar adjunto e inverso. En el Capítulo 3 se han estudiado las potencias imaginarias de algunos operadores diferenciales con dominio o rango no densos. En concreto, el operador derivada y el Laplaciano en espacios de funciones integrables y en espacios de funciones continuas. Se ha demostrado que dichas potencias son no acotadas. La segunda de la tesis está dedicada al estudio de las potencias fraccionarias del operador de Laplace. En el Capítulo 4 se estudian dichas potencias desde un punto de vista distribucional. Dado que no es posible llevar a cabo dicho estudio en los pares duales clásicos en Teoría de Distribuciones, se ha introducido un nuevo espacio de distribuciones adecuado. En los Capítulos 5 y 6 se ha aplicado este enfoque distribucional de las potencias del Laplaciano en dos direcciones diferentes: por un lado, las potencias negativas de dicho operador nos han permitido obtener propiedades espectrales y de aditividad de una clase de operadores clásicos en Análisis Armónico llamados Potenciales de Riesz; por otro lado, a través de las potencias positivas del Laplaciano hemos introducido los espacios de Sobolev de orden fraccionario. Finalmente se ha probado la conjetura de Kato, que establece la igualdad entre el dominio de las potencias del Laplaciano con los clásicos espacios de Sobolev, no sólo para el operador de Laplace sino ta