Medidas de no débil capacidad y geometría de espacios de Banach

Resumen

En esta memoria se estudia la casi convexidad y la casi lisura en los espacios de Banach, utilizando en la definición la medida de no débil compacidad de De Blasi en lugar de la medida de no compacidad de Hausdorff, El motivo fundamental de este estudio es que la citada medida de no débil compacidad de De Blasi no tiene un buen comportamiento frente a isometrías, como prueban Astala y Tilly, al contrario de la medida de no compacidad de Hausdorff. El trabajo comienza dando una medida de no débil compacidad en el espacio L1(alfa, ) y se da una condición suficiente para que esta medida coincida con la de De Blasi. Seguidamente, se dan distintas definiciones relacionadas con la convexidad como son los espacios débilmente casi uniformemente convexos (WNUC), débilmente localmente casi uniformemente convexos y débilmente casi estrictamente convexos y se prueba que efectivamente estas clases de espacios contienen a los reflexivos y generalizan a los espacios casi uniformemente convexos introducidos por Huff, a los localmente casi uniformemente convexos introducidos por Rolewicz y a los casi estrictamente convexos. Se hace un estudio análogo con la lisura introduciendo los espacios débilmente casi uniformemente lisos, los débilmente localmente casi uniformemente lisos y los débilmente casi lisos que generalizan a los espacios casi uniformemente lisos, a los localmente casi uniformemente lisos y a los casi lisos introducidos por Banás. Se estudia la relación existente entre la convexidad no débil compacta de un espacio E y la lisura no débil compacta en su dual. Asimismo, se estudia el comportamiento de estas propiedades en los espacios de Banach de sucesiones 1(Ei), 1 p , y c0(Ei). Seguidamente se introduce la propiedad (wbeta), generalización de la propiedad (beta) introducida por Rolewicz, y se prueba que la citada propiedad (wbeta) implica la propiedad WNUC, resultado análogo al obtenido por Rolewicz.