Boundedness of fractional elliptic and parabolic operators on Lebesgue and Hölder spaces. A semigroup approach

Resumen

El hilo conductor de esta tesis es el lenguaje de semigrupos, una t ecnica general y uni - cadora para formular y analizar propiedades fundamentales de operadores fraccionarios. Hemos usado este enfoque para tratar con diferentes problemas. El primer cap tulo est a dedicado a las derivadas fraccionarias discretas. Las hemos de nido por medio de semigrupos y hemos visto que aproximan a las derivadas fraccionarias continuas. Tambi en hemos obtenido principios de comparaci on y del m aximo y resultados de regularidad para las potencias fraccionarias. Estos resultados nos permiten probar la coincidencia puntual de las derivadas de Marchaud y de Gr unwald-Letnikov. En el segundo cap tulo consideramos operadores de Schr odinger en Rn con n 3, esto es, L = � +V , donde V es un potencial no negativo que satisface una desigualdad de H older inversa. Hemos encontrado la de nici on puntual apropiada de los espacios de Lipschitz (o H older) en el contexto de Schr odinger para 0 < < 2. En segundo lugar, hemos de nido para cualquier > 0, nuevos espacios Lipschitz adaptados a L por medio de los semigrupos del calor y del Poisson. Hemos probado que de hecho estos espacios coinciden con los de nidos puntualmente. Adem as, usamos estas nuevas de niciones de espacios Lipschitz a trav es de semigrupos para obtener resultados de regularidad para potencias fraccionarias de los operadores de Schr odinger. En el tercer cap tulo tratamos con el operador de Hermite, un operador de Schr odinger del que se conocen muchas propiedades interesantes. Estas propiedades nos han permitido obtener mejores resultados en este caso que para operadores de Schr odinger generales. Hemos obtenido una caracterizaci on completa de los espacios Lipschitz adaptados al operador de Hermite (tambi en en el caso parab olico) y hemos obtenido resultados de regularidad para operadores fraccionarios de Hermite en estos espacios. Finalmente, el ultimo capitulo se dedica al estudio de la existencia de soluciones cl asicas de la ecuaci on de Bessel parab olica y la acotaci on de las transformadas de Riesz en espacios Lp (mixtos) y con pesos.