Métodos geométricos en teorías clásicas de campos e integración numérica

Resum

En esta tesis se profundiza en la descripción de las Teorías Clásicas de Campos en términos de Geometría Multisimpléctica, Además, se realiza un análisis de las propiedades geométricas de ciertos problemas en mecánica, interesante para la construcción de una nueva familia de integradores numéricos cuyas propiedades de convergencia superan a las de los algoritmos clásicos. Se espera en el futuro extenderlos a las teorías de campos. Comienza con una breve exposición de la geometría simpléctica y aplicaciones a la mecánica, acompañada de una exposición paralela de la geometría multisimpléctica y los fibrados de jets, que son la base que describe las teorías clásicas de campos en términos multisimplécticos. En particular, la tesis completa la descripción con teoremas nuevos relativos a la existencia de coordenadas de Darboux, y una extensión de los triples de Tulczyjew a las Teorías de Campos. A continuación, se analizan los conceptos de simetría y cantidad conservada para las ecuaciones de la dinámica de las teorías clásicas de campos. Asimismo, se analiza la dinámica en presencia de superficies de Cauchy. Finalmente, se utilizan propiedades de las funciones generatrices para obtener nuevos métodos numéricos geométricos, particularizando para mecánica no holónoma y control óptimo, con mejor comportamiento a largo plazo, tal y como se prueba en algunos on ejemplos. La tesis concluye con una descripción de problemas abiertos en este campo.