On the Geometry of the Hamilton-Jacobi equation

Résumé

La teoría clásica de Hamilton–Jacobi es, hoy en día, bien conocida desde el punto de vista de la geometría simpléctica. A lo largo de esta memoria por teoría de Hamilton–Jacobi se entiende la relación entre cierta EDP, la ecuación de Hamilton–Jacobi, y las ecuaciones de Hamilton (EDOs). Ello proporciona medios para integrar las ecuaciones de Hamilton, o aproximarlas a través de transformaciones canónicas. La meta principal de este trabajo es extender esa teoría a otros contextos (reducción, Poisson, almost-Poisson, presimpléctico...) y obtener nuevas formas, analíticas y numéricas, de integrar las ecuaciones de Hamilton en otros marcos geométricos. Más aún, uno de los puntos principales tratados aquí es el desarrollo de herramientas geométricas para la implementación de nuevos métodos numéricos. En el Capítulo 1 esbozamos el desarrollo histórico de la teoría de Hamilton-Jacobi. Introducimos brevemente algunas de las conexiones de la teoría con la óptica y otros temas analíticos y dinámicos. Enfatizamos el papel de las subvariedades lagrangianas, porque dichas subvariedades serán la piedra angular para alcanzar nuestros objetivos. En el Capítulo 2 presentamos una teoría de reducción de la ecuación de Hamilton-Jacobi. La teoría de reducción es una de las más antiguas y útiles técnicas de la mecánica geométrica, por lo que es muy natural preguntarse si dicha teoría puede ser combinada con la teoría de Hamilton-Jacobi y así obtener nuevos resultados basándose en ella. Ge y Marsden dieron los primeros pasos en esta dirección. Nosotros proponemos una nueva aproximación, suficientemente general como para incluir los resultados previos, pero al mismo tiempo damos una nueva visión y más aplicaciones. En el Capítulo 3, usando grupoides simplécticos construimos una teoría de Hamilton-Jacobi para estructuras de Poisson lineales (en el dual de un algebroide de Lie). Esta visión es muy interesante de cara a la integración analítica y numérica de las ecuaciones de Hamilton y resuelve algunas de las cuestiones del área. Revisamos y completamos trabajos previos de Channell, Ge, Marsden, Scovel y Weinstein. En el Capítulo 4 presentamos una teoría de Hamilton-Jacobi para estructuras almost-Poisson. La meta principal es entender desde un punto de vista enteramente geométrico la teoría de Hamilton-Jacobi para sistemas no-holónomos desarrollada previamente. El Capítulo 5 incluye algunas extensiones de Hamilton-Jacobi para tratar con lagrangianos singulares. Los lagrangianos singulares son comunes en la teoría clásica de campos y por ello entenderlos en el ámbito de la mecánica clásica parece el primer paso a tomar. Finalmente, discutimos las conclusiones y una perspectiva de trabajo futuro.