On some apllications of Lie Algebroids in Geometry and Physics

Resumen

El objetivo de esta tesis es el estudio de algunas aplicaciones de la teori?a de algebroides de Lie, un concepto que generaliza tanto al de a?lgebra de Lie como al de fibrado vectorial, en problemas matema?ticos y fi?sicos concretos. La estructura de algebroide de Lie ha sido ya utilizada en distintos campos como meca?nica, topologi?a algebraica, geometri?a algebraica y geometri?a diferencial. En el primer capi?tulo hemos introducido esta nocio?n, presentado unos ejemplos de ello y unas de sus propiedades que van a ser u?tiles en los siguientes capi?tulos. Un concepto fundamental para la parte matema?tica de nuestro trabajo es el del campo de Jacobi, que en la geometri?a Riemanniana puede ser interpretado como el campo vectorial variacional asociado a una familia 1-parame?trica de geode?sicas. En esta parte, uno de nuestros resultados principales es la generalizacio?n de dicha nocio?n a la de seccio?n de Jacobi asociada a una ecuacio?n diferencial de segundo orden (denominada sode) definida en un algebroide de Lie, que esta? acompan?ada de la generalizacio?n de la ecuacio?n de Jacobi que la satisfacen estas secciones de Jacobi. Para ello hemos introducido el concepto de derivada dina?mica covariante y el del endomorfismo de Jacobi asociados a una sode en este caso general. Una referencia importante relacionada con estos asuntos es. A continuacio?n hemos considerado el caso de un algebroide de Lie Riemanniano. Hemos recordado brevemente la nocio?n de la conexio?n Levi-Civita asociada a la me?trica de Riemann, su correspondiente spray geode?sico y hemos hallado las fo?rmulas de variacio?n de la funcional de energi?a. Hemos utilizado nuestra teori?a por el caso de una sode definida en un algebroide de Lie Riemanniano, donde el sode es el spray geode?sico asociado a la conexio?n de Levi-Civita. En este caso, hemos mostrado que la derivada covariante asociada a la conexio?n Levi-Civita es la derivada covariante dina?mica asociada al spray geode?sico correspondiente a esta conexio?n, y hemos hallado la relacio?n existente entre el endomorfismo Jacobi asociado a este spray y el tensor de la curvatura de la conexio?n Levi-Civita. Con estas observaciones, a trave?s de la forma que lleva la segunda variacio?n calculada anteriormente, se ha reencontrado, tal como en el caso de la Geometri?a Riemnniana, la relacio?n que hay entre las secciones de Jacobi y los problemas de minimizacio?n de la energi?a. En final, hemos definido el concepto de puntos conjugados y hemos demostrado que si a largo de una curva integral del spray geode?sico no hay puntos conjugados, entonces esta minimiza la funcional energi?a del sistema cuyas soluciones son dadas de este mismo spray. En la parte relativa a las aplicaciones fi?sicas nos hemos centrado nuestra atencio?n sobre el teorema de virial, mostrando que admite una generalizacio?n al marco de algebroides de Lie. El teorema de virial para una funcio?n virial,-una funcio?n acotada en un intervalo de tiempo-, afirma que su promedio sobre un tal intervalo es cero. En casos particulares, como consecuencia, en el teorema de virial aparecen relaciones entre los promedios temporales de cantidades, como, por ejemplo, de la energi?a cine?tica del sistema con la de la energi?a potencial del sistema. Originalmente introducido de Clausius en el campo de la meca?nica cla?sica estadi?stica, el teorema de virial se ha mostrado de gran utilidad tambie?n en otras distintas ramas de la fi?sica. Tiene una amplia aplicabilidad en sistemas dina?micos y termodina?micos, sistemas con velocidad dependiente de fuerzas y en sistemas viscosos. Aunque el teorema de virial ofrece menos informacio?n que las propias soluciones de las ecuaciones de movimiento, es mas simple de aplicar y puede ofrecer informacio?n sobre sistemas cuyo ana?lisis completo puede ser complicado. Se ha probado recientemente que los teoremas de tipo virial son va?lidos tambie?n para espacios de configuracio?n distintos al espacio real n-dimensional. Fue estudiado haciendo uso del formalismo simple?ctico tanto en el caso Hamiltoniano como en el Lagrangiano. En la parte de aplicaciones en fi?sica, hemos comenzado con el formalismo Lagrangiano, y escrito intri?nsecamente y en coordinadas locales el teorema de virial para un sistema Lagrangiano de tipo meca?nico en una variedad de Riemann. Casos particulares importantes estudiados son el de una funcio?n virial afin asociada con un campo vectorial en la variedad de configuracio?n, los de funciones viriales asociadas con campos Killing, homote?ticos, y conformes Killing. Los campos vectoriales conformes de Killing y en particular los campos vectoriales homoteticos han sido relevantes en muchos problemas en fi?sica y particularmente en la geometri?a espacio-tiempo. Cada uno de estos casos particulares ha sido ilustrado por medio de un ejemplo. Despue?s hemos estudiado en el marco geome?trico del teorema de virial en te?rminos de cuasi velocidades en el caso Lagrangiano dando asi? una interpretacio?n geome?trica del formalismo de Boltzmann del teorema de virial, trasladable en cuasi-momenta al caso Hamiltoniano, dando asi? una interpretacio?n geome?trica del teorema de virial en el formalismo de Poincare?. Esto nos ha preparado el camino para proponer una generalizacio?n del teorema de virial para sistemas meca?nicos en Lie algebroides, usando los me?todos geome?tricos de la meca?nica Lagrangiana y Hamiltoniana en la prologacio?n de un algebroide de Lie en el caso Lagrangiano, respectivo de su dual en el caso Hamiltonianao, con respecto al Lie algebroide inicial, dos casos particulares de algebroides de Lie simple?cticos. Esta nueva generalizacio?n del teorema del virial y en particular el caso de la formulacio?n en te?rminos de cuasi-velocidades nos permite utilizarlo para sistemas meca?nicos con ligaduras no holo?nomas. El oscilador armo?nico noholono?mico, el trineo de Chapygin, y el sistema de Suslov, son ejemplos que hemos usado para ilustrar la teori?a de los sistemas no holo?nomos.