New developments on discrete variational calculusconstrained systems and optimal control

Resumen

Durante la d\'ecada de 1960, poderosas y sofisticadas t\'ecnicas provenientes de la geometría diferencial moderna y de la topología fueron introducidas en el estudio de los sistemas dinámicos (incluyendo los sistemas mecánicos). Este nuevo campo de investigación que reformuló la mecánica analítica clásica en lenguaje geoétrico y atrajo nuevos métodos topológicos y analíticos es llamado actualmente Mecánica Geométrica. Por otro lado, uno de los máximos objetivos del análisis numérico y de la matemática computacional ha sido traducir los fenómenos físicos en algoritmos que producen aproximaciones numéricas suficientemente precisas, asequibles y robustas. En los últimos años de la década de 1980, y durante todos los 90, el campo de la Integración Geométrica surgió con el objetivo de diseñar y analizar métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias y, más recientemente, para ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, que preservan tanto como es posible la estructura geométrica subyacente. La Mecánica Discreta, entendida como la confluencia de la Mecánica Geométrica y la Integración Geométrica, es, al mismo tiempo, un área de investigación bien fundamentada y una herramienta poderosa a la hora de entender los sistemas dinámicos y físicos, más concretamente aquéllos relacionados con la mecánica. Una herramienta clave en Mecánica Discreta, ampliamente utilizada en este trabajo, son los integradores variacionales, i.e., integradores geométricos basados en la discretización de los principios variacionales. El trabajo desarrollado en esta tesis se alinea con la Mecánica Discreta y su interralación con la teoría de algebroides y grupoides de Lie (considerados estos últimos como la generalización natural de los espacios sobre los que se define la Mecánica Discreta). Nuestra intención ha sido desarrollar integradores numéricos con propiedades de preservación geométrica en distintas ramas de la mecánica. Más concretamente, hemos usado técnicas de la Mecánia Geométrica con el objetivo de obtener resultados novedosos en tres aspectos: la relación entre sistemas Lagrangianos con ligaduras y sistemas Hamiltonianos; la integración geométrica de problemas de control óptimo; y la integración geométrica de problemas mecánicos noholónomos.