Geometric and numerical analysis of nonholonomic systems

Resumen

La mecánica geométrica es un campo de trabajo bastante reciente de las matemáticas que se encuentra en la intersección de al menos cuatro campos científicos diferentes: geometría diferencial, física, análisis numérico y sistemas dinámicos. Su punto de partida es arrojar luz sobre la geometría subyacente a la mecánica y utilizarla para obtener nuevos resultados que, con frecuencia, llegan a diversos campos matemáticos. Una de las aplicaciones prácticas que se hizo posible mediante el uso de técnicas geométricas fue la capacidad de construir \textit{integradores variacionales}, que son métodos numéricos que reproducen la geometría del sistema mecánico original como la simplecticidad y la conservación del momento y de la energía. Estos métodos son a menudo más baratos computacionalmente que los estándar, a la vez que demuestran un comportamiento cualitativo adecuado, incluso a bajo orden. Sin embargo, no todos los sistemas mecánicos pueden aproximarse mediante integradores variacionales. La mecánica no holónoma es uno de esos casos, en los que carecemos de un principio variacional, de simplecticidad y de la conservación del momento en general. Por lo tanto, la investigación de la estructura geométrica de la mecánica no holónoma debe realizarse teniendo en cuenta su naturaleza no simpléctica y no variacional. En esta tesis, deduciremos nuevas propiedades geométricas y analíticas de los sistemas no holónomos que esperamos proporcionen una nueva visión para tratar los mismos. Nuestra definición principal, que encontraremos en todas las secciones, es la de \textit{aplicación exponencial no holónoma}. Esta aplicación es una generalización de la conocida aplicación exponencial riemanniana y veremos que desempeña un papel en la descripción de trayectorias no holónomas, así como en aplicaciones al análisis numérico. Tras introducir este nuevo objeto, la tesis puede dividirse en dos partes. En la primera parte, usamos la aplicación exponencial no holónoma para presentar nuevas propiedades geométricas de los sistemas mecánicos no holónomos, como la existencia de una variedad riemanniana restringida que contiene a las trayectorias radiales no holónomas con punto de partida fijo y en la que las mismas son geodesicas. Se trata de un resultado nuevo y sorprendente porque abre la posibilidad de aplicar técnicas variacionales a la dinámica no holónoma, que comúnmente se considera no variacional por naturaleza. Además, damos una nueva definición de campos de Jacobi no holónomos y encontramos una ecuación de Jacobi no holónoma. En la segunda parte, más aplicada, utilizamos la aplicación exponencial no holónoma para caracterizar la trayectoria discreta exacta de los sistemas no holónomos. A continuación, proponemos un método numérico capaz de generar la trayectoria exacta.En el último capítulo, discutimos los sistemas de contacto y empleamos la aplicación exponencial no holónoma para construir una función Lagrangiana discreta exacta para sistemas de contacto discretos.