Coefficient problems in geometric function theory

Resumen

This thesis treats a number of extremal problems in Geometric Function Theory, mainly concerning univalent functions but, also, other analytic or harmonic mappings in the unit disk. Significant for the development of the theory has been the Bieberbach conjecture on the coefficients of normalized univalent functions. The conjecture was stated in 1916 and proved by de Branges in 1984, leaving behind an arsenal of techniques, such as the Loewner theory and a plethora of new variational methods, among others. In this thesis we study two conjectures related to Bieberbach's, namely the conjectures of Zalcman and of Bombieri, in Chapters 2 and 3, respectively. Also related to univalent functions is the Carathéodory class of functions with positive real part. In Chapter 1 we present some results on the coefficients of functions in this class. Since the 1980's researches in univalent functions tried to extend this theory to harmonic mappings, especially after an influential paper of Clunie and Sheil-Small. In Chapter 4 we discuss a new definition of harmonic Bloch-type mappings and some related results. En esta tesis se tratan algunos problemas extremales en la Teoría Geométrica de Funciones, principalmente en relación con las funciones univalentes, pero también relacionados con otras funciones analíticas o armónicas en el disco unidad. Ha sido significativa para el desarrollo de la teoría la conjetura de Bieberbach sobre los coeficientes de las funciones univalentes y normalizadas. La conjetura fue anunciada en 1916 y probada por de Branges en 1984, dejando atrás un arsenal de técnicas, como la teoría de Loewner y una plétora de nuevos métodos variacionales, entre otros. En esta tesis estudiamos dos conjeturas relacionadas con la de Bieberbach, en concreto, las conjeturas de Zalcman y de Bombieri, en los Capítulos 2 y 3, respectivamente. También está relacionada con las funciones univalentes la clase de Carathéodory que consiste en funciones con la parte real positiva. En el Capítulo 1 presentamos algunos resultados sobre los coeficientes de las funciones en esta clase. Desde los años 80, los investigadores interesados en funciones univalentes trataron de extender esta teoría a las aplicaciones armónicas, especialmente después de un influyente artículo de Clunie y Sheil-Small. En el capítulo 4 discutimos una nueva definición de las aplicaciones armónicas de tipo Bloch y algunos resultados relacionados.