Extremal problems in spaces of analytic functions

Resumen

Tal y como especifica su título, en esta tesis estudiamos una serie de problemas extremales en espacios de funciones analíticas. En algunos de estos problemas somos capaces de obtener una respuesta cerrada, mientras que en otros proporcionamos resultados parciales novedosos. La estructura de esta memoria está planteada de tal forma que cualquier lector con conocimientos elementales en el área (como los que pueda tener otro estudiante de Doctorado en una temática afín o un estudiante de Máster adelantado) pueda entenderla con facilidad. Para ello, dividimos la tesis en cuatro capítulos y dos apéndices. En el Capítulo 1 puede encontrarse una breve presentación de los espacios de funciones analíticas que van a protagonizar los posteriores capítulos, además de una introducción al concepto de problema extremal. Es un capítulo fundamentalmente expositivo y en consecuencia únicamente se muestran las pruebas especialmente relevantes para el resto de la tesis. En el Capítulo 2, calculamos el valor preciso de la norma del operador que consiste en cancelar un cero de orden arbitrario mediante un factor de Blaschke en el subespacio del espacio de Bergman con peso A^p_alpha de funciones que se anulan en dicho cero con una multiplicidad mayor o igual de la dada. Como corolario, extendemos una estimación para las derivadas de las funciones pertenecientes a ese mismo subespacio, simplificando su demostración. A continuación, en el Capítulo 3 estudiamos las normas del operadores de inclusión del espacio de Besov B^q en el espacio de Bloch B y de éste en A^p_alpha. En el caso de la inclusión de B^q en B somos capaces de dar una respuesta completa, calculando la norma exacta y describiendo sus funciones extremales. Para la inclusión del espacio de Bloch en A^p_alpha podemos estimar asintóticamente el crecimiento de ésta gracias al uso de funciones que se anulan en el origen. En el Capítulo 4 estudiamos las inclusiones contractivas entre espacios de norma mixta. Bajo la condición de que p sea mayor o igual que u, caracterizamos completamente la contractividad de la inclusión del espacio de norma mixta H(p, q, a) en H(u, v, b). En lugar de estudiar el caso general p < u (considerablemente más complejo que el anterior), mostramos avances parciales en un problema abierto con aplicaciones a otras áreas de las Matemáticas. Finalmente, incluimos dos apéndices para complementar los cuatros capítulos anteriormente descritos. El primero de ellos sirve como compendio de una serie de desigualdades clásicas y propiedades de las funciones holomorfas que son necesarios para el desarrollo de la tesis. En el segundo se incluye una breve introducción a los espacios de Hardy de series de Dirichlet y a la desigualdad de Helson, la cual motiva el estudio del problema tratado en la Sección 4.2 de la tesis.